【数据结构】二叉树

二叉树概念

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在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k 的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

二叉树性质

(1) 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1) , i>=1；

(2) 深度为h的二叉树最多有2^h - 1 个结点(h>=1)，最少有h个结点；

(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；

(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为log 2 (n+1) [ log 以2为底的 n+1 ]

存储结构：顺序存储，链式存储

遍历方式：前序遍历，中序遍历，后序遍历

前序遍历：

void _PreOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        cout << root->_data << " ";
        _PreOrder(root->_left);
        _PreOrder(root->_right);
    }

中序遍历：

void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_data << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

后序遍历：

void _PostOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;
        _PostOrder(root->_left);
        _PostOrder(root->_right);
        cout << root->_data << " ";
    }

此外，对于二叉树的操作还有：

树的深度Depth()

树的大小Size()

叶子结点的个数LeafSize()

K层也加点个数 GetKLevel()

实现如下：

Depth()：

size_t _Depth(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;

        int leftDepth = _Depth(root->_left);
        int rightDepth = _Depth(root->_right);

        return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
    }

Size()：

size_t _Size(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

LeafSize()：

void _LeafSize(Node* root, size_t& size) // size需传引用，以保证每次在上次的调用加值，否则size结果为0
    {
        if (root == NULL)
            return;
        if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
        {
            ++size;
            return;
        }
        _LeafSize(root->_left,size);
        _LeafSize(root->_right, size);
    }

GetKLevel()：

void _GetKLevel(Node* root, int k,
        size_t level, size_t& kSize)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        if (level == k)
        {
            ++kSize;
            return;
        }

        _GetKLevel(root->_left, k, level + 1, kSize);
        _GetKLevel(root->_right, k, level + 1, kSize);
    }

至此，二叉树的基本操作已经完成。

我们发现在实现二叉树的前序，中序，后序遍历时都是利用递归的机制，那么非递归又是怎么实现的呢？

在此，写出三种不同遍历方式的非递归方式实现：

前序遍历（非递归）：

void _PreOrder_NoR() 
    {
        stack s;
        if (_root)
        {
            s.push(_root);
        }

        while (!s.empty())
        {
            Node* top = s.top();
            cout << top->_data << " ";

            s.pop();

            if (top->_right) // 先压右树，后压左树
            {
                s.push(top->_right); 
            }
            if (top->_left)
            {
                s.push(top->_left);
            }
        }
    }

中序遍历（非递归）：

void _InOrder_NoR() 
    {
        Node* cur = _root;
        stack s;

        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                // 1.压一棵树的左路节点，直到最左节点
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }
             // 2.栈不为空，出栈访问，并移向右树，判断右树是否为空，后循环此操作，直至栈为空
            if (!s.empty())
            {
                Node* top = s.top();
                s.pop();
                cout << top->_data << " ";
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

后序遍历（非递归）：

void _PostOrder_NoR()
    {
        Node* pre = NULL;
        Node* cur = _root;
        stack s;
        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }

            Node* top = s.top();
            if (top->_right == NULL || top->_right == pre)
            {
                cout << top->_data << " ";
                s.pop();
                pre = top;
            }
            else
            {
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

发现，非递归的实现是利用栈结构存储和管理二叉树的。

附源代码以及测试代码：

BinaryTree.h 文件：

#pragma once 

#include 
template 
struct BinaryTreeNode
{
    T _data;
    BinaryTreeNode* _left;
    BinaryTreeNode* _right;

    BinaryTreeNode(const T& x)
        : _data(x)
        , _left(NULL)
        , _right(NULL)
    {}
};

template 
class BinaryTree
{
    typedef BinaryTreeNode Node;
public:
    BinaryTree()
        :_root(NULL)
    {}

    BinaryTree(const T* a, size_t size, const T& invalid)
    {
        size_t index = 0;
        _root = _CreatBinaryTree( a, size, index, invalid);
    }

    BinaryTree(const BinaryTree& t)
    {
        _root = _Copy(t._root);
    }

    //BinaryTree& operator=(const BinaryTree& t)
    //{
    //    if (this != &t)
    //    {
    //        Node* tmp = _Copy(t._root);
    //        _Destory(_root);
    //        _root = tmp;
    //    }
    //    return *this;
    //}

    BinaryTree& operator=(BinaryTree t)
    {
        swap(this->_root, t._root);
        return *this;
    }

    ~BinaryTree()
    {
        _Destory(_root);
        _root = NULL;
    }

    void PreOrder()
    {
        _PreOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    void PostOrder()
    {
        _PostOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    size_t Size()
    {
        return _Size(_root);
    }

    size_t Depth()
    {
        return _Depth(_root);
    }

    size_t LeafSize()
    {
        size_t size = 0;
        _LeafSize(_root,size);
        return size;
    }

    size_t GetKLevel(int k)
    {
        size_t kSize = 0;
        size_t level = 1;
        _GetKLevel(_root,k,level,kSize);

        return kSize;
    }

    void PreOrder_NoR()
    {
        _PreOrder_NoR();
        cout << endl;
    }

    void InOrder_NoR()
    {
        _InOrder_NoR();
        cout << endl;
    }

    void PostOrder_NoR()
    {
        _PostOrder_NoR();
        cout << endl;
    }


protected:
    void _Destory(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        _Destory(root->_left);
        _Destory(root->_right);

        delete root;
    }

    Node* _Copy(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return NULL;
        }

        Node* newRoot = new Node(root->_data);
        newRoot->_left = _Copy(root->_left);
        newRoot->_right = _Copy(root->_right);

        return newRoot;
    }

    Node* _CreatBinaryTree(const T* a, size_t size,
                            size_t& index, const T& invalid)
    {
        Node* root = NULL;
        while (index < size && a[index] != invalid)
        {
            root = new Node(a[index]); // new并初始化
            root->_left = _CreatBinaryTree( a, size, ++index, invalid);
            root->_right = _CreatBinaryTree( a, size, ++index, invalid);
        }
        return root;
    }

    void _PreOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        cout << root->_data << " ";
        _PreOrder(root->_left);
        _PreOrder(root->_right);
    }

    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_data << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

    void _PostOrder(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return;
        _PostOrder(root->_left);
        _PostOrder(root->_right);
        cout << root->_data << " ";
    }

    size_t _Size(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

    size_t _Depth(Node* root)
    {
        if (root == NULL)
            return 0;

        int leftDepth = _Depth(root->_left);
        int rightDepth = _Depth(root->_right);

        return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
    }

    void _LeafSize(Node* root, size_t& size) // size需传引用，以保证每次在上次的调用加值，否则size结果为0
    {
        if (root == NULL)
            return;
        if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
        {
            ++size;
            return;
        }
        _LeafSize(root->_left,size);
        _LeafSize(root->_right, size);
    }

    void _GetKLevel(Node* root, int k,
        size_t level, size_t& kSize)
    {
        if (root == NULL)
        {
            return;
        }

        if (level == k)
        {
            ++kSize;
            return;
        }

        _GetKLevel(root->_left, k, level + 1, kSize);
        _GetKLevel(root->_right, k, level + 1, kSize);
    }

    void _PreOrder_NoR() // 前序遍历->非递归
    {
        stack s;
        if (_root)
        {
            s.push(_root);
        }

        while (!s.empty())
        {
            Node* top = s.top();
            cout << top->_data << " ";

            s.pop();

            if (top->_right) // 先压右树，后压左树
            {
                s.push(top->_right); 
            }
            if (top->_left)
            {
                s.push(top->_left);
            }
        }
    }

    void _InOrder_NoR() 
    {
        Node* cur = _root;
        stack s;

        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                // 1.压一棵树的左路节点，直到最左节点
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }
             // 2.栈不为空，出栈访问，并移向右树，判断右树是否为空，后循环此操作，直至栈为空
            if (!s.empty())
            {
                Node* top = s.top();
                s.pop();
                cout << top->_data << " ";
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

    void _PostOrder_NoR()
    {
        Node* pre = NULL;
        Node* cur = _root;
        stack s;
        while (cur || !s.empty())
        {
            while (cur)
            {
                s.push(cur);
                cur = cur->_left;
            }

            Node* top = s.top();
            if (top->_right == NULL || top->_right == pre)
            {
                cout << top->_data << " ";
                s.pop();
                pre = top;
            }
            else
            {
                cur = top->_right;
            }
        }
    }

protected:
    Node* _root;
};

Test.cpp 文件：

#include 
using namespace std;

#include "BinaryTree.h"

int main()
{
    int a[10] = { 1, 2, 3, '#', '#', 4, '#', '#', 5, 6 };
    BinaryTree t( a, 10, '#');

    cout << t.Depth() << endl;
    cout << t.Size() << endl;

    t.PreOrder();
    t.InOrder();
    t.PostOrder();

    cout<< t.GetKLevel(1) << endl;
    cout << t.GetKLevel(3) << endl;

    cout << t.LeafSize() << endl;

    t.PreOrder_NoR();
    t.InOrder_NoR();
    t.PostOrder_NoR();

    system("pause");
    return 0;
}

若有纰漏，欢迎指正。

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二叉树性质

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