计算机的数值问题有哪些

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一、一些概念

机器数：数值在计算机内部的编码，也就是实际存储的 0/1 序列。

真值：机器数想要表示的实际数值，可理解为现实生活中我们平常所用的有正负号的数。

机器数与真值的对应关系就是数值在计算机内部的编码，主要有 4 种：原码，反码，补码，移码。

原码

原码由 1 位符号位和数值部分组成，数值部分就是真值的绝对值。

特点

• 与真值的对应关系直观

• 0 的表示不唯一，有 +0(00...000) 和 -0(10...000)。

• 加减法复杂，需要判断符号

反码

反码由 1 位符号位和数值部分组成。表示一个正数时同原码；表示一个负数时，符号位不变，数值部分各位求反。

反码相对于原码并没有多大改进提升，现已不用来表示数据。

补码

补码也是由 1 位符号位和数值部分组成。表示一个整数时同原码；表示一个负数时，符号位不变，数值部分各位求反，末位加 1。

原码到补码快速转换(负数)：符号位不变，从右到左的第一个1不变，其他位取反。 补码到原码(负数)转换方法同上，符号位不变，数值部分各位求反，末位加 1。也就是说符号位不变，从右到左的第一个1不变，其他位取反。

原因：按理说补码到原码应为原码到补码的逆操作，即减 1 再求反。设补码为A，则原码为 ~(A - 1)，即11...111 - ( A - 1) = 11...111 - A + 1，也就是~A + 1。 因此 ~A + 1 = ~(A - 1)

一个数的补码取负：连同符号位各位求反，末位加1，即从右到左的第一个1不变，其他位取反。

例如 4 位补码，[x]~补~ = 1011，[-x]~补~ = 0101

特点

• 0有唯一表示00...000，所以补码能表示的数范围比原码反码多1，表示范围为 -2^n-1^ ~ 2^n-1^-1

• 加减法符号位能直接参与运算。

• 现代的计算机整数基本都采用补码表示。

移码

移码主要用于浮点数的阶码部分，后面会讲浮点数的阶有正负，两个浮点数比较时需要比较阶码来対阶。为方便比较，将阶加上一个偏置常数使其变成正数，因为加的都是同一个偏置常数，阶的差值也是不会改变的。

所以移码就是数值本身加上一个偏置常数得到，偏置常数一般是2^n-1^，或者2^n-1^-1。

上述都是定点数的表示方法，定点数顾名思义，小数点是约定不动在一个固定位置的。定点数分为定点小数和定点整数。

• 定点整数的小数点固定在数的最右边，一般用来表示整数。

• 定点小数的小数点固定在数的左边，一般表示浮点数的尾数部分。

而浮点数的表示类似于科学计数法，它的指数部分可以变动，相应的尾数部分也跟着变化，就像小数点在浮动一样，所以叫做浮点数，浮点数后面再详解。

二、数值比较

整数分为无符号整数和有符号整数，**给定一个数，在计算机里如何存储，表示成 0/1 序列是编码的事，而对这 0/1 序列如何解释是上层软件的事情。**如c语言中可解释为有符号数和无符号数，而java中只解释为有符号数。

数值比较时，得确定类型才能比较。通常默认为有符号数相比，若出现无符号数，则按照无符号数相比。

概念模糊抽象，看下面的经典例子来理解：

第一个：两数按照有符号数相比，11...111B(-1) < 00...000B(0) 第二个：0U为无符号数，所以两数按照无符号数相比，-1的机器数为11...111，按照无符号数解释为2^32^ -1，这时是大于0的。11...111(2^32^-1) > 00...000(0)

注：括号前的二进制表示为数值的机器数，通常由补码表示，括号里面的是c语言对机器数 按照无符号数或者有符号数 解释出来的数。

看第二个例子前补充一些知识：

判断一个常量类型时是先将符号“踢开”，只看后面的数值在哪个区间，根据区间确定类型。

c90 和 C99 是c语言的两套标准，两套标准对常量的处理不同，下面的例子以 C90 说明

第一个：2147483647为 int 型，两边按照有符号数相比，01...111B(2^31^ - 1) > 10...000B(-2^31^)

第二个：2147483647为 int 型，前者带有U表示无符号数，按照无符号数相比，01...111B(231 - 1) < 10...000B(231)

第三个：2147483648为 unsigned int 型，但被强制类型转换为int型，所以按照有符号数相比，01...111B(2^31 -1^) < 10...000B(-2^31^)

第四个：2147483648为 unsigned int 型，两数按照无符号数相比，01...111B(2^31^ -1) < 10...000B(2^31^)

完全理解上述几个例子后对数值比较这一块应该没问题了，在此再强调总结一番。

一个数据怎么存储成 0/1 序列是编码的事，怎么解释这个 0/1 序列是上层软件的事。

也就是说上述的数值比较中 2147483648 的机器数始终是10...000B，2147483647的机器数始终是01...111B，之所以出现不同的比较结果是因为 c 语言对它们进行了不同的解释处理。

有了上面的基础，再来看几个程序：

打印结果如上图注释，原因如下：

x 的机器数为 11...111，u 的机器数为 10...0000 所以x按照无符号数解释为2^32^ - 1 = 4294967295，按照有符号数解释为 -1。 u按照无符号数解释为 2^31^，按照有符号数解释为 -2^31^

由上也可以看出机器数为10...000的数，是能表示的最小整数，取负后溢出还是它本身。

这是计算数组元素和的一个函数，按照程序所设想，length 传入 0 时应该返回 0，但实际上并非如此。这个程序理论上会无限循环，实际运行时会发生数组越界导致异常。

理论上无限循环的原因：len 为无符号数，传入0时，len - 1 为 -1，机器数为11...111，按无符号数解释为2^32^ -1，是 32 位能表示的最大整数。

前面说过，有无符号数参与比较时，两边都按照无符号数相比，所以不管 i 怎么变化，始终小于等于右边那个最大的值。当 i = 2^32^ -1 时，下一步又会回绕到0；

但实际运行时，肯定不会有那么长的数组，所以会发生越界错误。

此函数时用来比较两个字符串str1, str2谁长，用到了库函数strlen()，其原型如上。此函数设想 str1 长时返回 1，否则返回 0；但实际上只有 str1 和 str2 长度相等时会返回 0，其他时候都返回1；

问题就出在函数strlen()的返回值是size_t，即unsigned int。也就是说比较是按照无符号数来比较的，无符号数永远是大于等于 0 的，所以只有两个串儿长度相等时会使左边式子等于 0，其他时候左边结果的机器数中肯定有非 0 位，那么按无符号数解释就会大于0，也就返回1了。

改进方法：返回语句改成return strlen(str1) > strlen(str2)，直接让两个串的长度比较，而不是做减法再与0比较。

这个例子说明调用库函数也要小心，对其的返回类型，参数类型要有了解，否则可能就会出错。

三、浮点数(IEEE 754)

IEEE 754浮点数标准规定的浮点数格式如上图所示，简要解释如下：

• 符号位：1表负，0表正

• 阶码用移码表示，是一个定点整数，偏置常数是2n - 1，所以单精度的偏置常数位127，双精度的偏置常数位1023

• 尾数是一个定点小数，实际表示24位有效数字，隐含了一位 1 ，实际尾数为1.*****B

表示范围

32位单精度

负数的表示只不过是符号位发生变化，所以32位单精度浮点数能表示的极值如下：

• 最小正数：2-126

• 最大整数：(2 - 2-23) * 2127

• 最大负数：-2-126

• 最小负数：-(2 - 2-23) * 2127

64位双精度

64位双精度浮点数原理同上，能表示的极值如下

• 最小正数：2-1022

• 最大整数：(2 - 2-52) * 21023

• 最大负数：-2-1022

• 最小负数：-(2 - 2-52) * 21023

所以IEEE 754 浮点数能表示的范围如下面数轴图所示：

浮点数每个 2^n-1^~2^n^ 区间内能表示的数的个数都是2^23^个(尾数23位)，而且等距。比如 1~2 之间有 2^23^ 个数，2~4 之间也有 2^23 ^个等距的数，所以浮点数表示的密度并不相等，距离0越近，密度越大。

也就是说并不是每个小数都能精确表示，当输入一个不可表示的数时，机器会将其转换为最近能表示的数。这也是为什么编写程序时不要用浮点数来进行比较，特别是相等的情况，因为你想比较的数可能无法表示，机器自动给你转换了。

特殊表示

阶码全0尾数全0

+0 或者 -0，正负看符号位

阶码全1尾数全0

+∞，-∞，正负看符号位

阶码全1尾数非0

阶码全1尾数非0，NaN(Not a Number)，不是一个数，0 / 0, 0 * ∞ 等会产生NaN。

阶码全0尾数非0

从上述的数轴图中可以看出-2^-126^ ~ 2^-126^之间的数是表示不了的，引进非规格化数可解决这问题。非规格化数的尾数中的隐含位为0，阶码虽然全0，但阶还是-126。如此便在-2^-126^~2^-126^之间添加了2 * 2^23^个数，解决了下溢问题。

同样，有了上述的基础知识，来看一些例子：

这几个题都很简单，注意几点就行：

• 精度大的转换成精度小的可能会出问题，精度小的转换成精度大的不会有问题。

• 浮点数取负直接变符号位就可。

最后一个是浮点数的加减运算问题，后面详解，在这可以举个例子简单理解下：当 d 很大 f 很小时，d + f 得到的结果就等于 d， 舍去了f，所以左边等于 0 ，右边等于 f，两边不等。

四、数值运算

按位运算和逻辑运算

这两种运算比较简单，只是要区分一下概念。

按位运算恰如其名，是对数值的位进行与或非运算。

逻辑运算的操作数只有 true 和 false，对数值的处理为非零即真。

左移右移

移位分为逻辑移位和算数移位：

• 逻辑移位：不考虑符号位，左移时高位移出，低位补0；右移时低位移出，高位补0

• 算术移位：考虑符号位，左移时高位移出，低位补0；右移时低位移出，高位补符号位；

c语言中编译器进行移位运算和CPU进行移位运算是不一样的：

• 编译器：进行实际移位，比如移动w位，实际也移动w位

• CPU：移动 w % k ，w为所移位数，k为数据类型的位数

看下面程序帮助理解，打印结果已注释在后面

位扩展位截断

扩展分为 0 扩展和符号扩展，数据转换时，短数向长数转换时需要位扩展。

0扩展用于无符号数，在原来的数前面添足够的0即可。

符号扩展用于有符号数，在原来的数前面添足够的符号位即可。

位截断，长数向短数转化时会发生截断，规则比较粗暴简单，直接“砍掉”高位，留下低位即可。

长数的表示范围肯定大于短数，所以截断一个数可能会改变原来的值。看下面一个例子：

经过截断再扩展后 32768 变成了 -32768，所以再截断时要注意溢出问题。

计算机里整数浮点数的加减乘除运算的实际过程都很复杂，内容很多，建议直接看唐朔风的计算机组成原理第六章，数字逻辑相关书籍中加法器，乘法器等的电路实现。深入理解计算机系统对各种数值算法的理论推导。公众号内回复电子书即可获得相应书籍。下面就只说说其中我认为比较重要需要的一些东西。

加减运算

现代计算机里面整数都可以看做是用补码表示的，统一了加减法，符号位也能和数值部分一起进行计算。

不论是无符号数还是有符号数，都先按照实际的机器数做运算，得到的结果再解释成相应的无符号数或有符号数。

整个计算机的运算系统都是采用模运算，得出的结果如果超出计算机表示的位数，会直接丢掉高位。

例如若两个数为a, b，对应的机器数为A, B，则a + b 相应操作为 A + B，a - b 为A + ~ B + 1。再对计算得到机器数解释成最终结果。

乘除运算

乘法主要需要考虑溢出问题，n 位数乘 n 位数，结果可能需要2n位来表示。c语言中截直接断成 n 位来实现(来自深入理解计算机系统)，但经过试验结果似乎会自动扩展。

只要结果在你机器的表示范围内就会自动扩展，比如两个 short 型的数相乘结果会自动扩展成 32 位来正确表示结果，除非限定结果还是个 short 型，才会截断。

整数除法一般没有溢出问题，因为商的绝对值不会大于被除数的绝对值。

除了一种情况，有符号数中最小数除以-1，例如 int 型的情况：-2147483648 / -1 便会溢出，结果还是 -2147483648 本身。

在这说点 c 里面一些有趣的东西，可以算是bug吧。上述说的有符号数中的最小数，即机器数为10...000的数(设为s)取负后还是它本身，这是没问题的，机器数也的确是相同的。所以按理说 s = -s。这在32位int型，64位long long的情况下成立，但是在short情况下不成立。所以 c 里面关于数值的东西有许多奇奇怪怪的东西，诸位感兴趣可以去尝试。

常量乘除

乘除法运算所花的时间远远多于移位加减运算的时间，因此，编译器处理变量与常量乘除时会以移位，加法，减法的组合运算来代替乘除法。

来看一个具体例题：x为一整形变量，现要计算55 * x，给出一种计算表达式使得所用的时钟周期最少。

题目很简单，主要是想说明怎么转换。

乘以 2^n^ 相当于左移 n 位，除以 2^n^ 相当于右移 n 位。 **左移需要注意高位的溢出问题，而右移则需要注意舍入问题。一般的舍入规则是向0舍入，但用移位来实现除法是向下舍入的。**对于正数来说没什么问题，向下舍入就是向0舍入。但是负数就有问题了，向下舍入并不是向0舍入，需要校正。

为什么移位来实现除法是向下舍入的呢，正数应该很好理解，右移之后丢掉移出的小数部分，数值自然变小了。如果是负数，右移之后丢掉小数部分数值不应该变大吗？但别忘了负数在计算机里由补码表示，它跟真值对应的关系是要求反的，所以换成真值后会发现数值依然是变小的。

来看一个例子理解向下舍入，应该会更清楚

如何校正呢？ 既然负数也是向下舍入，那么在它移位之前先给它加上一个偏移量让它变大点，那么移位后舍入不就正确了。

如果右移n位，这个偏移量就是2^n^-1，原来是 x / 2^n^，现在是(x + 2^n^ - 1) / 2n = x / 2^n^ + (2^n^-1 / 2^n^)；相当于加了一个"极限小数"来校正。

这个数可以在十进制下来理解，比如移动一位也就是一位小数的情况下，-2.1，-2.9都要舍入到-2，应该怎么操作呢？将两个数都加上一个0.9就行了，这里0.9就是十进制一位情况下的一个极限小数，换成二进制同理，二进制 n 位的一个"极限小数"就是2^n^-1 。

浮点数运算

加减法

1、対阶

只有阶数相等，尾数才能直接相加减。 対阶原则：小阶对齐大阶，阶小的尾数右移，右移尾数为阶差。

注: 右移时注意隐含位 1 也要一起参与移位，为保证精度，低位移出的位不要丢掉，后续参与尾数加减。

2、尾数加减

尾数是由定点原码小数表示，这里没有符号位，所以加减就是普通的二进制加减法。这里注意隐含位和対阶时移出的附加位也要参与运算。

3、规格化

上述尾数加减后得到结果可能五花八门，千奇百怪，需要规格化变成 IEEE 754 的标准形式。**简单说来就是把尾数变成1. **B的形式，然后相应的调整阶码。小数点的位置与阶码息息相关，小数点浮动了，阶码当然也要相应变化。

4、结果舍入

対阶和尾数规格化的时都可能右移，为保证精度，会将移出的位保留下来参与中间运算，得出最终结果后再舍入。IEEE 754规定至少保留 2 位，紧跟在尾数右边的叫做保护位(guard)，保护位右边的叫做舍入位(round)，为提高精度，舍入位右边还有一位粘位(sticky)。只要粘位右边有任何的非0数就置1，否则置0。

5、阶码溢出判断

结果的阶码全 1 表上溢，产生异常或者结果置为∞。 结果的阶码全 0 表下溢，产生异常或者结果置0

这就能解释前面为什么 (d + f ) - d 不一定等于 f ，d 如果很大，f 很小，対阶时f 看齐d，尾数可能一直右移导致有效位没有了变成了全0，再进行尾数加减时 d 值不变。所以左边等于0，右边等于 f，两者不等。

乘除法

浮点数乘法运算过程类似加减法，主要区别在于乘除法不用対阶，其他过程基本一样。也好理解，就像我们平时用科学计数法做算数时，加减法那肯定是需要指数相等，尾数才能相加减；而乘除法时可以直接尾数与尾数运算，指数与指数运算，一个道理。

感谢各位的阅读，以上就是“计算机的数值问题有哪些”的内容了，经过本文的学习后，相信大家对计算机的数值问题有哪些这一问题有了更深刻的体会，具体使用情况还需要大家实践验证。这里是创新互联，小编将为大家推送更多相关知识点的文章，欢迎关注！

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