树，树的遍历和堆排序
一 树基础
1 树的定义
1 两种定义方式
树： 非线性结构
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1 树是n(n>=0)个元素的集合
n=0时，称为空树
树只有一个特殊的节点是没有前驱元素的，称为树的根，及Root
树中除了根节点外，其余的元素只能有一个前驱，可以有0个或多个后继，根没有前驱，只有后继
2 递归定义
树T 是n(n>=0)个元素的集合，n=0时，称为空树
其有且只有一个特殊元素及根，剩余的元素都可以被划分为m个互不相交的集合，T1,T2,T3...Tm，而每个集合都是树，称为T的子树subtree，其子树也有自己的根
2 数的集群术语
前驱： 当前节点前面的元素
后驱： 当前节点后面的元素
结点： 树中的数据元素
节点的度degree：节点拥有的子树的数目称为度，记做d(v)
叶子结点： 结点的度为0，称为叶子结点，终端结点，末端结点
分支结点：结点的度不为0，称为非终端结点或分支结点
分支：结点之间的关系，及连线
内部结点：除根节点以外的分支结点，当然不包括叶子节点，及掐头，去尾，留中间
树的度： 树的度是各个节点的度的最大值。
孩子（儿子child）结点：结点的子树的根节点称为该结点的孩子
双亲（父Parent）结点：一个结点是它各子树的根结点的双亲。
兄弟（sibling）结点：具有相同双亲结点的结点
祖先结点：从根结点到该结点所经分支上的所有结点
子孙结点：结点所有子树上的结点都称为子孙
结点的层次：根结点为第一层，根结点的孩子为第二层，依次类推，记做L(v)
树的深度（高度Depth）：树的层次的最大值
堂兄弟：双亲在同一层的结点。有序树：结点的子树是有序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换
无序树：结点的子树是无序的，可以交换
路径：树中的K个节点n1，n2...nk，满足ni是n(i+1)的双亲，称为n1到nk的一条路径，就是一条线串下来的，前一个都是后一个的父（前驱）节点
路径长度=路径上结点长度-1，及分支数
森林：m(m>=0)棵不相交的树的集合
对于结点而言，其子树的集合就是森林，
3 树特点：
1 唯一的根
2 子树不相交
3 除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有0个或多个后继
4 根结点没有双亲节点（前驱），叶子节点没有孩子结点（后继）
5 vi是vj的双亲，则L(vi)=L(vj)-1,也就是说双亲比孩子节点的层次小1
2 二叉树概念
1 特点
1 每个结点最多2个子树
二叉树不存在度数大于2的节点
2 它是有序树，左子树，右子树是顺序的，不能交换次序
3 即使某一个结点只有一颗子树，也要确定其是左子树还是右子树
2 二叉树的五种形态
1 空二叉树
2 只有一个根结点
3 根结点只有左子树
4 根结点只有右子树
5 根结点有左子树和右子树
3 斜树
左斜树：所有结点都只有左子树
右斜树：所有结点都只有右子树
4 满二叉树
一颗二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，且所有叶子节点都只存在在最下面一层。
同样深度的二叉树，满二叉树节点最多
k为深度(1<=k<=n)，则节点总数为 2**(k)-1
5 完全二叉树
若二叉树的深度为k，二叉树的层数从1到k-1层的结点都打到了最大个数，在第k层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树
完全二叉树由满二叉树引出
满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树
k为深度(1<=k<=n)，则结点总数最大值为2**k-1,当达到最大值的时候就是满二叉树
3 二叉树的性质
1 在二叉树中的第i层上最多有2**i-1 个节点(i>=1)
2 深度为k的二叉树，至多有2**k -1个节点（k>=1）
3 对于任何一颗二叉树T，如果其终点节点数为n0,度数为2的节点为n2，则有n0=n2+1，及叶子结点数-1=度数为2的节点数。
证明：
总结点数为n=n0+n1+n2，其中n0为度数为0的节点，及叶子节点的数量，n1为度数为1 的节点的数量，n2为节点为2度数的数量。
一棵树的分支数为n-1，因为除了根节点外，其余结点都有一个分支，及n0+n1+n2-1
分支数还等于n0*0+n1*1+n2*2及 n1+2n2=n-1
可知 2*n2+n1=n0+n1+n2-1 及就是 n2=n0-1
4 高度为k的二叉树，至少有k个节点
5 具有n个节点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1 或者 math.ceil(log2(n+1))6 有一个n个节点的完全二叉树， 结点按照层序编号，如图
如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲为int(i/2)，向下取整。就是叶子节点的编号整除2得到的就是父节点的编号，如果父节点是i，则左孩子是2i，若有右孩子，则右孩子是2i+1,。
如果2i>n，则结点i无左孩子，及结点为叶子结点，否则其左孩子节点存在编号为2i。如果2i+1>n，则节点i无右孩子，此处未说明是否不存在左孩子，否则右孩子的节点存在编号为2i+1。
二 二叉树遍历
1 遍历方式
遍历： 及对树中的元素不重复的访问一遍，又称为扫描
1 广度优先遍历
一次将一层全部拿完，层序遍历
及 1 2 3 4 5一层一层的从左向右拿取
2 深度优先遍历
设树的根结点为D，左子树为L，右子树为R。且要求L一定要在R之前，则有下面几种遍历方式
1 前序遍历，也叫先序遍历，也叫先跟遍历，DLR
1-2-4-5-3-6
2 中序遍历，也叫中跟遍历， LDR
4-2-5-1-6-3
3 后序遍历，也叫后跟遍历，LRD
4-5-2-6-3-1
三 堆排序
1 堆定义
1 堆heap 是一个完全二叉树
2 每个非叶子结点都要大于或等于其左右孩子结点的值称为大顶堆
3 每个非叶子结点都要小于或者等于其左右孩子结点的值称为小顶堆
4 根节点一定是大顶堆的最大值，小顶堆中的最小值
2 堆排序
1 构建完全二叉树
1 待排序数字为 49 38 65 97 76 13 27 49
2 构建一个完全二叉树存放数据，并根据性质5对元素进行编号，放入顺序的数据结构中
3 构造一个列表为 [0,49,38,65,97,76,13,27,49]的列表
2 构建大顶堆
1 度数为2的结点，如果他的左右孩子最大值比它大，则将这个值和该节点交换
2 度数为1 的结点，如果它的左孩子的值大于它，则交换
3 如果节点被置换到新的位置，则还需要和其孩子节点重复上述过程
3 构建大顶堆--起点选择
1 从完全二叉树的最后一个结点的双亲开始，及最后一层的最右边的叶子结点的父结点开始
2 结点数为n,则起始节点的编号为n//2(及最后一个结点的父节点)
4 构建大顶堆--下一个节点的选择
从起始节点开始向左寻找其同层节点，到头后再从上一层的最右边节点开始继续向左逐步查找，直到根节点
5 大顶堆目标
确保每个结点的都比其左右结点的值大
第一步，调换97和38，保证跟大
第二步，调换49和97
第三步，调换76和49
第四步，调换38和49
此时大顶堆的构建已经完成
3 排序
将大顶堆根节点这个最大值和最后一个叶子节点进行交换，则最后一个叶子节点成为了最大值，将这个叶子节点排除在待排序节点之外，并从根节点开始，重新调整为大顶堆，重复上述步骤。
四 实战和代码
1 打印树
l1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]
打印结果应当如下
思路：可通过将其数字映射到下方的一条线上的方式进行处理及就是 8 4 9 2 0 5 0 1 0 6 0 3 0 7 0 的数字，其之间的空格可以设置为一个空格的长度，其数字的长度也可设置为固定的2，则
则第一层第一个数字据前面的空格个数为7个，据后面的空格也是7个，
第二层第一个数字据前面的空格个数为3个，第二个数字距离后面的空格也是3个，
第三层据前面的空格为1，第三层最后一个据后面的空格也是1，
第四层据前面的空格是0，第四层最后一个据后面的空格也是0，
现在在其标号前面从1开始，则层数和空格之间的关系是1 7
2 3
3 1
4 0
转换得到
4 7
3 3
2 1
1 0及就是 2**(l-1) -1 l 表示层数
间隔关系如下
1 0
2 8
3 4
4 2
转换得到
4 0
3 8
2 4
1 2
及就是 2**l其中l 表示层数。
代码如下
import math
# 打印二叉树
def t(list):
'''
层数 层数取反(depth+1-i,depth表示总层数，此处为4，i表示层数) 据前面的空格数 间隔数 每层字数为
1 4 7 0 1
2 3 3 7 2
3 2 1 3 4
4 1 0 1 8
(2**(depth-i)-1) (2**(depth-i)-1) (2**i）
层数和数据长度的关系是 n表示的是数据长度
1 1
2-3 2
4-7 3
8-15 4
2**(i-1){}}".format(x,len(sep)),end="") # 此处通过format来获取其偏移情况,第一个x表示其大括号中的内容，第二个表示偏移的程度
interval= 0 if i ==0 else 2**(depth-i)-1 # 此处获取到的是间隔数，当值大于1时，满足如此表达式
if j < len(line)-1: #选择最后一个时不打印最后一个的后面的空格，及就是1,3,7后面的空格
print (sep*interval,end="")
index += offset
print () 结果如下
2 堆排序算法实现
# 构建一个子树的大顶堆
def heap_adjust(n,i,array):
'''
调整当前结点（核心算法）
调整的结点的起点在n//2（二叉树性质5结论），保证所有调整的结点都有孩子结点
:param n : 待比较数个数
:param i : 当前结点下标
:param array : 待排序数据
:return : None
'''
while 2*i<=n: # 孩子结点判断，2i为左孩子，2i+1为右孩子
lchile_index= 2*i #选择结点起始并记录 n=2*i-1,因为其是从0开始，因此只有len()-1
max_child_index=lchile_index
# 判断左右孩子的大小，并将大的赋值给max_child_index
if n > lchile_index and array[lchile_index+1] > array[lchile_index]: #说明其有右孩子,且右孩子大于左孩子
max_child_index=lchile_index+1 #n=2i+1 # 此时赋值的是下标
# 判断左右孩子的最大值和父结点比较，若左右结点的最大值大，则进行交换
if array[max_child_index] > array[i]: #此处的i是父节点，通过和父节点进行比较来确认其最大，
array[i],array[max_child_index]=array[max_child_index],array[i]
i= max_child_index #右子节点的下标会赋值到父结点，并将其值赋值到父结点，
else:
break
# 构建所有的大顶堆传入参数
def max_heap(total,array):
for i in range(total//2,0,-1): #构建最后一个叶子结点的父结点
heap_adjust(total,i,array) #传入总长和最后一个叶子结点的父结点和数列
print (t(array))
return array
#构建大顶堆，起点选择
def sort(total,array): # 此处起点是1，因此必须在前面添加一个元素，以保证其位置编号和树相同
while total>1:
max_heap(total,array)
array[1],array[total]=array[total],array[1] #将最后一个结点和第一个结点调换，
total-=1
return array结果如下
3 总结
堆排序 Heap Sort 是利用堆性质的一种选择排序，在堆顶选出最大值或最小值
时间复杂度
堆排序的时间复杂度为O(nlog2 n)，由于堆排序对原始记录的排序状态不敏感，因此其无论是最好，最坏和平均时间复杂度均为O（nlog2 n）空间复杂度
只是使用了一个交换用的空间，其空间复杂度为O(1)
稳定性
不稳定的排序算法
本文名称：树，树的遍历和堆排序
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