前缀和/差分

前缀和

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前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。

设 $ b [ ] $ 为前缀和数组， $ a [ ] $ 是原数组，

应用

区间求和

一维区间

求解 $ [ L , R ] $ 区间数字之和。

因为$ L < R $ ,所以

$ ans = S [ R ] - S [ L - 1 ] $ ;

对于m次区间和询问：常规做法时间复杂度 $ O ( m n ) $ ，即每次查询都遍历一边；前缀和做法每次询问区间和的复杂度为 $ O ( 1 ) $ ，m次询问便是 $ O ( m ) $ 。

二维区间

求解 $ [ x1 , y1 ] $ ~ $ [ x2 , y2 ] $ 区间数字之和。

$ ans = s [ x2 ] [ y2 ] - s [ x1 - 1 ] [ y2 ] - s [ x2 ] [ y1 - 1 ] + s [ x1 - 1 ] [ y1 - 1 ] $

差分

差分是一个数组相邻两元素的差，一般为下标靠后的减去靠前的一个。

设差分数组为 $ p [] $ ,差分就是将数列中的每一项分别与前一项数做差。

一维差分： $ p [ i ] = a [ i ] - a [ i - 1 ] $

二维差分： $ p [ i ] [ j ] = a [ i ] [ j ] - s [ i - 1 ] [ j ] - s [ i ] [ j - 1 ] + s [ i - 1 ] [ j - 1 ] $

应用

区间加

一维区间加

差分公式/差分标记（适用于一维差分）：

$ [ L , R ] + V $ 等价于 $ d [ L ] + V , d [ R + 1 ] - V $

然后把差分后的数组进行一次前缀和操作即可得到变换后的序列。

时间复杂度： $ O ( n ) + O ( m ) + O ( n ) $ ~ $ O ( n ) $

二维区间加

$ d [ x1 ] [ y1 ] = d [ x1 ] [ y1 ] + p $

$ d [ x1 ] [ y2 + 1 ] = d [ x1 ] [ y2 + 1 ] - p $

$ d [ x2 + 1 ] [ y1 ] = d [ x2 + 1 ] [ y1 ] - p $

$ d [ x2 + 1 ] [ y2 + 1 ] = d [ x2 + 1 ] [ y2 + 1 ] + p $

前缀和&&差分の性质

性质1

差分序列求前缀和可得到原序列。

前缀和序列求差分可得到原序列。

令F(a)表示前缀和数组，G(a)表示差分数组。

可以说，前缀和&&差分是一对互逆过程。

性质2

将原序列区间[L,R]中的元素全部+1，可转化为差分序列L处+1和R+1处-1。

性质3

按照性质2得到，每次修改原序列一个区间+1，那么每次差分序列修改处增加的和减少的相同。

补充

时间复杂度

在一秒内：

$ - O ( n ) $ 的算法可以处理大约 $ 10^7 $ 级别的数据

$ - O ( n \cdot logn ) $ 的算法可以处理大约 $ 10 ^ 6 $ 级别的数据

$ - O ( n^2 ) $ 的算法可以处理大约 $ 10^4 $ 级别的数据

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