c语言求解函数的偏微分 c语言求偏导数

什么叫偏微分?

1、实际上，偏微分是对多元函数（三元或三元以上）求微分的一种方法。它与一元函数微分的作用类似，都可以反映函数的某些局部特征（图形的走势等）。

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2、在多元函数中，函数对每一个自变量求导，就是偏导数。由此，对每个自变量的微分，就是偏微分。如：z=f(x，y)，则偏z偏x，就是z对x求导，称为z对x的偏导数，这时y视为常量。z对y的偏导数同理可求。

3、如果在一个微分方程中出现有多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的偏导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。偏微分方程产生于十八世纪，在十九世纪得到迅速的发展。

只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法最常见的有三种：差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有：正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。

先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A，B是系数；(i) 它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1，K2，K3是系数；(ii) 。

二阶偏微分方程解法：两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。

求微分方程 xy-y=2x满足初始条件y(1)=1的特解。解：由原方程可见：x≠0；因为若x=0，则y=0，不可能初始条件满足y(1)=1。所以可用x同除两边。

用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。

一个超曲面S：φ(t，x)=0，如果在其上成立就称它是方程（4）的一个特征超曲面。对于双曲型方程，任一特征超曲面均由次特征线组成，而次特征线t=t(τ)，x=x(τ）由下述常微分方程组满足附加条件（5）的解所给出。

其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法又可以分为最常见的有三种：差分法、有限体积法、有限元法。其中，差分法是最普遍最通用的方法。

你看看行不？先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A，B是系数；(i) 它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1，K2，K3是系数；(ii) 。

求解思路：把偏微分方程离散化，采用合适的差分方法，将复杂的方程简化成简单的线性方程组，最后求解线性方程组，得到其数值解。现以一维扩散方程为例，说明其计算过程。

在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解偏微分方程（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。（2）在 solve 模式下，求解。（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

求微分方程 xy-y=2x满足初始条件y(1)=1的特解。解：由原方程可见：x≠0；因为若x=0，则y=0，不可能初始条件满足y(1)=1。所以可用x同除两边。

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